Révision Bac - Les logarithmes - Fiche Maths - Term ES

Les logarithmes

Définition :
La fonction logarithme népérien , notée ln , est la bijection réciproque de la fonction exp :
Pour tout x de ]0 ; +[ et tout y de , ln x = y ey = x .

Propriétés :
La fonction ln a pour ensemble de définition ]0 ; +[ ; elle vérifie :
Pour tous réels x et y strictement positifs , ln(xy) = ln x + ln y.
Pour tout réel x, ln (ex) = x.
Pour tout réel x strictement positif, eln x = x.
ln s'annule en 1 : ln 1 = 0.

Signe :
ln(x) 0 sur ]0 ; 1]
ln(x) > 0 sur ]1 ; +[

Propriétés algébriques :
Pour tous x et y de ]0 ; +[ et tout entier n :

Limites :

Dérivation :

ln est dérivable (donc continue) sur ]0 ; +[ et, pour tout réel x > 0 :

ln'(x)=

ln est strictement croissante sur ]0 ; +[, donc, pour tous x et y de ]0 ; +[ :
x < y ln x < ln y
x = y ln x = ln y

Si une fonction u est positive et ne s'annule pas sur un intervalle I , alors ln u est dérivable sur I et , pour tout x de I :

Fonction logarithme décimal :

On appelle fonction logarithme décimal la fonction, notée log , et définie sur ]0 ; +[ par :