Equations différentielles

Les équations différentielles

Résolution avec second membre

Position du problème
L'énoncé introduit une équation différentielle avec second membre .

Par exemple :

On pose alors des questions destinées à la résoudre.

Principe :

Pour résoudre l'équation avec second membre (E) on demande de :

a) Résoudre l'équation sans second membre(E')

b) Montrer qu'une fonction g est solution de (E)

c) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de (E')

d) En déduire les solutions de (E)

Exercice concret

Résolution de :

On appelle cette équation (E)

a) résoudre y'+2y=0 (On appelle cette partie (E')

b) Déterminez a et b de façon à ce que g définie sur R par :

soit solution de (E)

c) Montrez que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de (E ')
d) Déduisez-en les solution s de (E)

a) On applique la propriété du cours , on trouve que les solutions de (E ') sont les fonctions

b) Le principe de ce genre de question est de remplacer y par g et d'identifier alors les constantes.

Le raisonnement est le suivant :

g est dérivable sur R et:

On en déduit que :

f sera donc solution de (E) si :

c'est-à-dire si a et b vérifient :

c'est-à-dire pour

et

On a donc :

c) f-g est solution de (E') :

(on a:

car g est solution de l'équation avec second membre)

solution de (E)

REMARQUE : Retenez bien ces différentes phases car c'est toujours pareil.

L'important étant de partir de (f-g) et de faire dérouler la démonstration.

d) f solution de (E)

solution de (E')
d'après a) :

est définie par: