Asymptote

L'asymptote

Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal.

C'est d'abord un adjectif d'étymologie grecque qui peut qualifier une droite, un cercle, un point ... dont une courbe plus complexe peut se rapprocher.

C'est aussi devenu un nom féminin synonyme de droite asymptote.

Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que la distance de la courbe à la droite tend vers 0 lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini.

L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développé dans les études de fonctions et présente des commodités reconnues par de nombreux mathématiciens.

Dans le domaine scientifique, il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire, graphique de température, oscillation d'un amortisseur).

Un des objectifs du chercheur est alors de connaitre l'état à la fin de l'expérience, c’est-à-dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaitre les variations intermédiaires mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré. Le chercheur étudie donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les outils que les mathématiques lui offrent
Les asymptotes sont à rechercher lorsque x ou f(x) tend vers l'infini.

Courbe d'équation y = f(x)

Droite asymptote

Asymptote « verticale »

La droite d'équation x = a est une asymptote « verticale » à la courbe représentative de la fonction f (en a) si quel que soit x>a ou si quel que soit x

On trouvera des asymptotes verticales en particulier lorsque la fonction f se présente sous forme d'un quotient dont le dénominateur, mais pas le numérateur, s'annule en a.

Sur le graphe, les axes x et y sont des asymptotes.

Exemples : fonction homographique, logarithme népérien, fonction tangente

Asymptote « horizontale »

La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à la courbe d'équation y = f(x), si :

Exemples : fonction homographique, exponentielle. tangente hyperbolique

Asymptote « oblique »

La droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f si:

les valeurs de a et de b peuvent se retrouver à l'aide des remarques suivantes :

Si :

est égale au réel a, alors que f(x) - ax n'admet pas de limite réelle en , on dit que la courbe admet comme direction asymptotique la droite d'équation y = ax.

Si :

est égale au réel a,

et si :

on parle alors de branche parabolique de direction y = ax

Exemples : fonction rationnelle