Suites arithmétiques

Les suites arithmétiques

Relation de récurrence :
On dit qu'une suite (un) est une suite arithmétique lorsqu'il existe un réel r tel que: un+1=un+r pour tout entier n.
Le nombre r est appelé raison de la suite.
Autrement dit, dans une suite arithmétique, on passe d'un terme à un autre en ajoutant toujours le même nombre.
On dit que les suites arithmétiques ont un accroissement (ou une diminution) constant(e). Elles caractérisent les croissances linéaires.

Conséquence :
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut et il suffit de montrer que la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante (un+1 - un = r).

Théorème :
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r.
Alors, pour tout entier naturel n,
un = u0 + nr.

Remarques :
- Les suites arithmétiques sont des suites affines. Elles sont représentées par des droites.
- La représentation graphique d'une suite arithmétique s'obtient aisément en traçant la droite d'équation y = rx + u0.
- Le coefficient directeur de la droite est la raison de la suite et u0 en est « l'ordonnée à l'origine »
- Si (un) est une suite arithmétique, pour tout entier n et p :
un - up = (n - p)r.

Propriétés :
Si r > 0, la suite (un) est croissante, si r < 0, la suite (un) est décroissante.

II-SUITES GEOMETRIQUES :

Relation de récurrence :
On dit qu'une suite (un) est une suite géométrique lorsqu'il existe un réel q tel que un+1 = qun pour tout entier naturel n.
Le nombre q est appelé raison de la suite.
Autrement dit, dans une suite géométrique on passe d'un terme à un autre en multipliant toujours par le même nombre.
On dit que les suites géométriques ont un accroissement (ou une diminution) à taux constant. Elles caractérisent les croissances exponentielles.
Conséquence : Pour montrer qu'une suite de réels non nuls est géométrique, il faut et il suffit de montrer que le quotient entre deux termes consécutifs quelconques est constant ( =q).
Théorème : Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
Alors, pour tout entier naturel n,
un = u0qn.

III- Autres types de croissance :
Il existe d'autres types de croissance que les croissances linéaires ou exponentielles. Vous connaissez peut-être les croissances paraboliques correspondant à la suite de terme général un = n2 par exemple.

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