Les fonctions linéaires et affines

Les fonctions linéaires et affines

Avant de parler de fonctions affines, parlons tout d'abord de la notion de fonction.

Une fonction associe à certaines valeurs de x un résultat qui dépend de la fonction.

Par exemple, si on considère la fonction f qui à x associe 4x²+10 :

Si x=0 le résultat est 10,

si x=3, le résultat est 46 (4 *3² + 10)

Pour noter cela on utilise la notation :

f(0)=10, f(3)=46

On dit que 10 est l'image de 0 et 46 est l'image de 3.

On dit aussi que 10 a pour antécédent 0 et 46 a pour antécédent 3.

Définition : Une fonction affine associe à tout nombre x le nombre ax + b où a et b sont deux nombres fixés .

On la note: f(x) = ax + b

On dit que f(x) est l'image de x par la fonction affine f.

Exemples :

On choisit la fonction affine suivante : f(x) = - 2x + 5

Calcul d'image :

f(0) = -2 X 0 + 5 = 5

donc 0 a pour image 5 par la fonction f.

f(1) = -2 X 1 + 5 = 3

donc 1 a pour image 3 par la fonction f.

Recherche d'antécédent :

Soit f(x)=-2x + 5.

Chercher l'antécédent de 10 revient à déterminer le nombre x ayant pour image 10 par la fonction f donc à résoudre:

-2x + 5 = 10

d'où x = -2,5.

On dit que 10 a pour antécédent 2,5 :

f(-2,5)=10.

Fonctions linéaires :

Soit la fonction:

f (x) = ax + b

Si b = 0 alors f(x) = ax s'appelle une fonction linéaire.

Si a = 0 alors f(x) = b est la fonction constante.

Représentation graphique :

On peut tracer la représentation graphique d'une fonction f. Pour cela, on place dans un repère les points de coordonnées (x,f(x)) que l'on relie entre eux.

Soit f(x)=ax+b une fonction affine.

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

a s'appelle le coefficient directeur et b s'appelle l'ordonnée à l'origine ( intersection de la droite avec l'axe des ordonnées).

La représentation graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Donc, pour tracer la représentation graphique de la fonction affine f(x) = -2x + 5 il nous suffit de chercher deux points puisque l'on sait que l'on va tracer une droite.

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