La démonstration

La démonstration

Ce qu’il faut retenir pour le BAC

1) Les propriétés de la démonstration : Une démonstration est une procédure (une série d’actes suivant certaines règles), qui est discursive (elle s’extériorise, se « montre » dans un énoncé ou dans sa transcription sur un support), et qui engage un raisonnement (qui produit et valide la démonstration).

2) L’origine de la démonstration : Aristote est le premier à analyser la démonstration. Il le fait dans le cadre de la théorie du syllogisme, théorie des formes de raisonnement. La démonstration est un syllogisme dont les prémisses sont évidentes et indémontrables. Averroès prolonge la pensée d’Aristote en distinguant les démonstrations quia, relative à l’existence et qui vont des effets aux causes, et les démonstrations propter quid, relative à l’essence et qui vont des causes aux effets.

3) Mathématique et philosophie : Les Éléments d’Euclide sont l’acte de naissance de la science géométrique. À partir des définitions, axiomes, postulats et notions communes qui sont les propositions premières (non démontrés), et par déduction, on démontre des théorèmes qui pourront à leur tour servir dans la démonstration d’autres théorèmes. La méthode d’Euclide et plus généralement la méthode mathématique s’est présentée comme un idéal pour les autres disciplines, notamment la philosophie. Spinoza écrit une Éthique « démontrée selon l’ordre géométrique »; Kant voit dans les mathématiques le paradigme d’une connaissance a priori.

4) Démonstration, preuve, évidence : Il faut distinguer la démonstration de la preuve en ce sens que cette seconde est souvent mise en œuvre pour mettre fin à un doute et que d’autre part, elle peut faire appel, non seulement à des déductions, mais également à des inductions qui y introduisent une certaine incertitude, un degré de probabilité. Quant à l’évidence, c’est à partir d’elle que sont posés les axiomes et postulats. Certains, tel Descartes, la voit à l’œuvre même dans les procédés déductifs, de telle manière que l’intuition joue un rôle fondamental dans les mathématiques.

5) Logique et formalisme : Leibniz affirme que tout jugement peut être ramené à un calcul de telle manière que la mathématique universelle peut se présenter comme une théorie infaillible de la démonstration. Les logiciens du tournant des 19ème et 20ème siècles défendent l’idée de la construction de formalismes (langues artificielles) permettant d’éviter toutes les équivoques du langage naturel. Dans de tels systèmes formels, la démonstration, la chaîne des déductions ne laissent plus aucune place à l’induction.

6) Les limites de la démonstration : Wittgenstein « démystifie » les mathématiques en rangeant celles-ci auprès des autres pratiques humaines. Les mathématiques sont pour lui une activité (un « faire » avant d’être un « connaître ») de construction de concepts et de connexions de concepts ; la démonstration est l’application des « règles du jeu » ; une fois validée, la démonstration est un paradigme qui, en tant qu’exhibant (visuellement) les connexions de concepts, force la conviction. Dans une toute autre perspective, on peut se poser la question de l’existence des objets mathématiques. L’apparition des géométries non-euclidienne a ainsi pu montrer qu’il n’existe pas un modèle unique de représentation de la réalité et que, par conséquent, les objets mathématiques ne sont pas des entités appartenant à un monde des idées platoniciennes, mais des créations ou œuvres de l’homme.